x178;-dy178;-1有多少整数解？近30年无人解开的数学难题有答

一个困扰数学几十年的谜题终于解开了。

这个猜想与初等数论中的经典Pell方程有关:x2—d*y2=1。

在此之前，经典佩尔方程的整数解已经被证明:

当d≤0或d是大于0的完全平方数时，方程有唯一解:x = 1，y = 0，当dgt并且0不是一个完整的平方数，则该方程有无数个正整数解。

但是，数学家的探索精神一般不会止步于此有人提出把等号右边的1改成—1，把这个新方程叫做负佩尔方程这样一来，整数解的情况立刻变得复杂了许多

时间定在1993年，数学家彼得·史蒂文·哈根提出了一个公式，给出了负佩尔方程整数解的精确答案。

这个猜想提出后的30年，数学界一直无法证明其正确性但现在，来自康考迪亚大学的卡罗尔·帕加诺和密歇根大学的彼得·科曼斯终于给出了该猜想的正确答案

帕加诺的导师亨德里克·伦斯特拉教授甚至对此评价道:这项成果为数论的一个分支翻开了新的篇章。

数论经典:佩尔方程

在介绍负佩尔方程之前，我们先了解一下经典佩尔方程从何而来。

佩尔方程，其实和佩尔无关费马首先深入研究了这一理论，约瑟夫·路易斯·拉格朗日给出了解决方案但是后来，由于它被莱昂哈德·欧拉误认为是佩尔的提议，它被错误地流传了下来

其具体形式为:x2—d*y2=1当d是正整数且不是完全平方数时，有无穷多个解

比如数学史上有一个经典的阿基米德羊群问题:

太阳神养了一群牛这些牛有公母，分为白，黑，黄，花四种颜色给定一系列条件，求出牛的总数有多少只不同颜色的牛这个问题一直吸引着许多数学家的兴趣

x2—4729494*y2=1

2000年，伦沙彻底解决了这个问题，他得到了阿基米德牛群问题的全部解:

不仅解的数量多，而且最少的牛数也是惊人的:也许只有真正的太阳神能管理它。

与Hupel方程不同，负Pell方程的整数解要复杂得多。

负佩尔方程

如前所述，负佩尔方程可以表示为x2—d * y2 =—1，d是一个整数显然，当d≤0且d是大于1的完全平方数时，方程无解

另外，负Pell方程整数解的复杂性还体现在负Pell方程中很多D值没有整数解根据已知规则，D不可能是3，7，11，15等的倍数但是除了这些值，并不是d的所有其他值都一定有整数解

比如当d=3，x2–3 * y2 =—1时，无论你沿着数轴看多远，你都永远找不到解但实际上，在排除3，7，11，15的倍数后，不取d的其他值，负佩尔方程必然有整数解d的值给定后，需要先求负Pell方程的基本解

负佩尔方程的一般解可以用这个公式:

其中n是任意正整数，a和B是负佩尔方程的基本解，并且具有以下方程:

X0和y0是经典Pell方程的基本解。

有关它的更详细的研究，请参考论文:

研究人员简介

最后，我们来看看30年前证明这个猜想的这两位数学家——加拿大康考迪亚大学的助理教授卡罗尔·帕加诺，她的主要研究方向是数论。

此前，他分别在格拉斯哥大学和马克斯·普朗克研究所获得数学博士后学位他毕业于莱顿大学，获得数学博士学位，导师是亨德里克·伦斯特拉

皮特科目前是密歇根大学的博士后主要研究方向为数论及其周边领域

此前，他在马克斯·普朗克数学研究所从事博士后研究他毕业于莱顿大学，获得数学博士学位他的导师是简·亨德里克·埃弗斯和彼得·斯蒂文哈根

可以看出，他们的学习轨迹有很多重叠的部分不仅如此，他们还是研究生时期的同学

为了这个研究的目的，两人在整整一年的时间里每天都见面，每天在黑板上做各种计算，完善彼此的想法，甚至是在午餐时间如果有人在他一个人的时候有了新的想法，他会随时给对方发短信

虽然这非常具有挑战性，但Kooymans回忆起这段时间时说:我们一起做这件事很有趣。

参考链接:

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