登峰造极，20几岁的阿贝尔，做出了19世纪最伟大的数学发现之一

1801年，天文学家应该可以在夜空中观察到，一群杰出的数学天才即将闪耀，创造数学史上最伟大的世纪在这些耀眼的天才中，没有什么比尼尔斯·亨利克·阿贝尔更耀眼了埃尔米特这样评价阿贝尔:他给数学家留下了让他们忙碌500年的东西

亚伯于1802年8月5日出生在挪威亚伯的妈妈非常漂亮像其他几位一流数学家一样，阿贝尔很早就发现了自己的天赋16岁时，他通过自学，彻底理解了包括牛顿，欧拉，拉格朗日在内的前人的巨著几年后，有人问他如何快速进入一流行列，他回答:向大师们学习

今天我们知道，19世纪以前的大师们认为他们已经证明的很多东西，其实根本就没有被真正证明尤其是欧拉对无穷级数的研究，拉格朗日对分析的研究阿贝尔敏锐地意识到了前人推理中的不足，他决心弥补这些不足他在这方面的代表作之一就是首次证明了广义二项式定理牛顿和欧拉解释了这个定理的一些特例，但要可靠地证明这个定理的一般情况并不容易

阿贝尔在数学上的第一个志向是解决一般的五次方程问题一般五次方程在代数中的作用类似于决定一个科学理论命运的关键实验

然后我学习了三次和四次方程，比如

对于一次到四次的一般方程，我们得到解的有限公式，即未知的X用已知的系数A，B，C，D，e来表示，这样的解称为代数解在这个代数解的定义中，一个重要的条件是有限性，即通过有限次的四则运算和根号的组合，由方程的系数组成公式解在成功地解决了前四个代数方程之后，代数已经奋斗了将近三个世纪来解决一般五次方程的代数解

但是没有人能成功亚伯从这里开始以下内容摘自阿贝尔的论文《论方程的代数解》

代数中最有趣的问题之一就是求方程的代数解所以几乎所有杰出的数学家都讨论过这个问题我们很容易得到前四个方程根的一般表达式我们找到了理解前四个方程的统一方法，人们相信它也可以应用于任何方程可是，尽管拉格朗日和其他杰出的数学家做出了努力，但并没有达到预期的目标这就导致了一般方程不能用代数方法求解的推测，但这是不确定的，因为所用的方法只有在方程可解的情况下才能得出确定的结论

。

他继续说，要采用的真正的科学方法，因为它需要极其复杂的计算，很少被采用。

我用这种方法探索了分析科学的几个分支虽然我问自己的问题经常超出我的能力范围，但我得出了大量的一般性结果，这些结果有效地说明了量的性质，而阐明这些量的性质正是数学的目的在另一篇论文中，我将讨论最一般方程的代数解

他讨论了两个相关的一般性问题:

求任意给定次数的所有代数可解方程，

确定一个已知方程是否代数可解。

在阿贝尔回到这些问题之前，他抑制不住的创造力促使他考虑更广泛的问题，这些问题的完整答案留给伽罗瓦来回答尽管阿贝尔在代数方面的工作是划时代的，但由于他创立了一个新的分析分支，这项工作就黯然失色了正如勒让德所说，这部作品是阿贝尔的永恒的丰碑

19世纪，法国是世界数学女王德国有一个数学王子高斯1825年8月，23岁的阿贝尔在政府的支持下开始了他在法国和德国的学习之旅他带来了自己的论文，在论文中他证明了用代数方法解一般的五次方程是不可能的阿贝尔天真地认为，这是他通往欧洲大陆数学家的科学通行证，他特别希望高斯看到这项工作的意义但他不知道的是，这位数学王子有时并不会对那些试图获得认可的年轻数学家表现出王子的大度

阿贝尔手稿

1824年，一般五次方程的问题几乎等价于把圆变成正方形的问题，高斯急不可耐但是这个问题并没有被证明是不可解的，阿贝尔的文章提供了证明如果高斯有耐心的话，他本可以读到一些他感兴趣的东西只要他说一句话，阿贝尔就有可能出名，甚至阿贝尔的寿命也有可能延长

1825年9月阿贝尔离家后，首先拜访了挪威和丹麦的著名数学家和天文学家然后我去了柏林在柏林，他遇到了一个名叫奥古斯特·利奥波德·克里尔的人，他将成为他在科学界的伯乐Klier已经成为一个特殊的名字，象征着他创办的杂志该杂志的前三卷包括阿贝尔的22篇论文阿贝尔的伟大工作使这本杂志在整个数学领域久负盛名，最后，杂志让克里耶再次出名

克里尔

克里尔本人是一个数学爱好者，而不是一个有创造力的数学家他的职业是建筑工程师他很早就取得了成功，修建了德国第一条铁路在业余时间，他认真学习数学，而不仅仅是作为一种爱好他在1826年创办了《纯粹与应用数学杂志》，极大地促进了德国数学的发展这本杂志的创办是克里尔对数学发展的最大贡献该杂志是世界上第一份致力于数学研究成果的期刊从1826年到现在，Klier每三个月出版一期，里面有数学方面的新文章今天，数百种杂志全部或相当一部分参与了纯数学和应用数学的发展过程

阿贝尔向克里尔提到他的证明，用代数方法求解一般的五次方程是不可能的Klier连听都不听，任何这样的证明肯定有问题，但他接受了这篇论文，并承认阿贝尔的推理高于他——最后在他的杂志上发表了阿贝尔的详细证明

柏林丰富的社交活动开始让阿贝尔无法专心工作他躲在弗里堡，在那里他可以专心工作正是在弗里堡，他完成了他最伟大的工作，创造了现在所谓的阿贝尔定理但他必须去巴黎会见当时第一流的法国数学家——勒让德，柯西等人

从阿贝尔写给天文学家汉斯丁的一封信中可以看出，阿贝尔想要重建数学分析:

在高级分析中，很少有命题被极其严格地证明过.....找出这种情况的原因真的很有意思在我看来，原因在于迄今为止在分析中出现的大多数函数都可以表示为幂函数...当我们采用一般方法时，这并不太困难，但我必须非常谨慎，因为未经严格证明的命题已经在我们心中生根，以至于我们常常不经进一步检验就冒险采纳它们这些鸡毛蒜皮的小事，都会出现在克利尔先生出版的杂志上

1826年10月，阿贝尔关于一类非常广泛的超越函数的一般性质的论文被提交给巴黎科学院这就是勒让德所说的永恒的丰碑，埃尔米特所说的让未来的数学家忙碌500年的东西它是现代数学的顶峰

雅可比

雅各比喊道，亚伯先生的是什么样的发现.....有人见过同样的事情吗这个发现，也许是我们这个世纪最伟大的发现，两年前就交给你们科学院了，但是你们的同事怎么可能没有注意到呢柯西在1830年出版了它最后发表在《法国科学院著名科学家论文集》上，但已经是1841年了

以下是论文的开篇段落。

到目前为止，数学家研究的超越函数的数量非常少超越函数的整个理论实际上简化为对数函数，三角函数，指数函数，本质上只是简单的一类函数最近才开始考虑其他功能在后来考虑的函数中，椭圆超越函数占据首位，其显著而精致的性质是由勒让德先生发展起来的Abel在他的论文中研究了广泛的函数，即所有那些导数可以用一元有理系数的代数方程表示的函数

如果我们有几个函数，它们的导数可以是同一个代数方程的根，这个方程的所有系数都是一元有理函数只要我们在所讨论的函数的变量之间建立一定数量的代数关系，我们总是可以用一个代数函数和一个对数函数来表示任意数量的这种函数的和

描述简单的阿贝尔定理，今天俗称阿贝尔定理勒让德没有讨论椭圆函数勒让德大半辈子都在研究椭圆积分，它与椭圆函数的区别就像马与大车的区别一样，恰恰是阿贝尔对数学最大贡献的根源

阿贝尔是第一个有意识地逆向研究问题的人如果一个问题的答案陷入了无望的境地，那就试着把问题倒过来，把问题当论点，把论点当问题

在积分学中，反三角函数自然是以简单定积分的形式呈现的当我们试图用积分学求圆的弧长时，就出现了这样一个积分假设反三角函数一开始就是这样出现的，那么把这些函数的反函数当作已知函数来研究分析，岂不是更自然了

但是在很多比较高级的问题中，最简单的就是用积分求椭圆的弧长，第一个就是比较棘手的反椭圆函数这让阿贝尔看到，这些函数应该反过来研究可是，伟大的数学家勒让德在他的椭圆积分上花了40多年的时间，却从不怀疑应该反过来考虑这种看似简单实则深奥的问题的极其简单平常的看待方式，是19世纪数学最伟大的进步之一

Abel发现由椭圆积分的反函数导出的新函数有两个周期，它们的比值是虚的之后，雅各比，罗森海因，维尔斯特拉斯，黎曼等人深入研究了阿贝尔大定理通过发展和扩展阿贝尔的思想，他们发现了一些具有2n个循环和n个变量的函数亚伯自己更深入地探索了他的发现他的后继者将整个工作应用于几何，力学，数学物理和其他数学分支的某些部分，解决了一些重要的问题，这些问题没有阿贝尔的研究是无法解决的

日前，亚伯去世，只活了26年零8个月亚伯死后两天，他被任命为柏林大学的数学教授

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