期权每日一策叁拾陆：如何为美式期权定价？

期权概念篇

如何为美式期权定价？

由于行权时间的限制条件不同，期权可以分为欧式期权和美式期权，美式期权并不能直接使用Black-Scholes公式进行定价，学术界和业界广泛采用二叉树模型对美式期权进行定价。我国场内市场中有豆粕期权和白糖期权两种美式期权，这两种期权均属于期货期权，在之前的每日一策中我们简要介绍了期权的定价方法，本篇将围绕期权定价方法中的二叉树模型详细展开。

二叉树期权定价模型是由J.C.Cox，S.A.Ross，M.Rubinstein和Sharpe等学者提出的对期权定价的数值方法。它将标的资产的存续期分为若干阶段，在每个节点资产价格变化只有向上和向下两个方向，且假设在存续期内，标的价格每次向上(或向下)变化的概率和幅度是不变的，模型根据波动率模拟标的价格在存续期内所有可能的路径，计算每一路径上的每一节点期权行权的收益，并对每个节点的期权价值贴现，从而对初始时刻的期权定价。对于美式期权，由于可以提前行权，每一节点上期权的理论价格应为期权行权收益和贴现计算出的期权价格的较大者。图1展示的是两步二叉树，其中每个节点数值为期货模拟价格，其中u(ugt;1)表示期货价格上涨的幅度，d(0lt;dlt;1)表示期货价格下跌的幅度(假设u*d=1)，F0表示的是期货的初始价格，若期货在下一时刻上涨，其价格为F0*u；反之若期货在下一时刻下跌，其价格为F0*d。

下面我们以美式看涨期货期权为例，详细介绍二叉树的定价方法。已知当前时刻的期货价格为F0，期权行权价为K，年化波动率为σ，未来时刻T（T足够小）。若期货价格上涨，其价格变为F0*u(ugt;1)，若期货价格下跌，其价格变为F0*d(0lt;dlt;1)；且期货价格上涨的概率为P，下跌的概率为1-P，假设无风险利率为r。由期望定义：

根据风险中性定价理论（Risk Neutral Pricing Theory），期货价格的现值应为其未来期望基于无风险利率的贴现，我们知道在风险中性测度下，期货价格的漂移率为0，故有：

再根据期货价格收益率的方差可以列出等式：

在风险中性测度下，根据以上三个条件可以计算出：

再次利用风险中性价格理论，期权价格的现值等于未来预期值按无风险利率贴现。所以在一步二叉树下，美式看涨期货期权的价格为：

其中Cu和Cd分别表示标的资产上涨和下跌时对应的期权价格。同理可推导N步二叉树下美式期权的定价，仍旧假设时间为T，但是在N步二叉树下的每一步的步长为：

以二叉树的第i步，且在此之前有j次标的价格上涨而得到的节点为例，通过比较在此节点行权与继续持有期权的价值，以价值较大者来决定行权或不行权，可以计算出此节点上美式看涨期权的价格的表达式如下：

然后向前逐步推导即可得到初始时刻的期权价格。

于明明

任瞳

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